Question

如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2, PD=,∠PAB=60°.

(1)證明AD⊥平面PAB;

(2)求異面直線PC與AD所成的角的大小;

(3)求二面角P-BD-A的大小.

Answer 1

答案：本小題主要考查直線和平面垂直、異面直線所成的角、二面角等基礎知識,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.

(1)證明:在△PAD中,由題設PA=2,AD=2,PD=,可得PA²+AD²=PD²,于是AD⊥PA.

在矩形ABCD中,AD⊥AB.

又PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB.

(2)解:由題設,BC∥AD,所以∠PCB(或其補角)是異面直線PC與AD所成的角.

在△PAB中,由余弦定理得

PB=.

由(1)知AD⊥平面PAB,PB平面PAB,

所以AD⊥PB,因而BC⊥PB,于是△PBC是直角三角形,

故tan∠PCB=.

所以異面直線PC與AD所成的角的大小為arctan.

(3)解:過點P作PH⊥AB于H,過點H作HE⊥BD于E,連結PE.

因為AD⊥平面PAB,PH平面PAB,

所以AD⊥PH.又AD∩AB=A,因而PH⊥平面ABCD.

故HE為PE在平面ABCD內的射影.

由三垂線定理可知,BD⊥PE.

從而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角.

由題設可得,

PH=PA·sin60°=,AH=PA·cos60°=1,

BH=AB-AH=2,BD==,

HE=·BH=.

于是在Rt△PHE中,tan∠PEH==.

所以二面角PBDA的大小為arctan.