Question

設(shè)是各項均不為零的等差數(shù)列，且公差，若將此數(shù)列刪去某一項得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列。

（1）當n=4時，求的數(shù)值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）求n的所有可能值。

Answer 1

解析：（1）當n=4時，中不可能刪去首項或末項，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項成等比數(shù)列，則推出d=0。若刪去，則有，即,化簡得，因為d0，所以，故得；若刪去，則有，即，化簡得，因為d0，所以，故得.綜上或-4。

（2）若，則從滿足題設(shè)的數(shù)列中刪去一項后得到的數(shù)列，必有原數(shù)列中的連續(xù)三項，從而這三項既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，故由“基本事實”知，數(shù)列的公差必為0，這與題設(shè)矛盾。所以滿足題設(shè)的數(shù)列的項數(shù)。又因題設(shè)，故n=4或5。當n=4時，由(1)中的討論知存在滿足題設(shè)的數(shù)列。當n=5時，若存在滿足題設(shè)的數(shù)列，則由“基本事實”知，刪去的項只能是，從而成等比數(shù)列，故及

。分別化簡上述兩個等式，得及，故d=0，矛盾。因此不存在滿足題設(shè)的項數(shù)為5的等差數(shù)列。綜上可知， n只能為4.