Question

5．已知直線y=x+b與兩曲線C₁：x²+y²-|x|-|y|=0和C₂：x²+y²-|x|-|y|=$\frac{1}{2}$僅有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（　　）

• A． （-2，2）
• B． （-1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）
• C． （-1-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）∪（-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）
• D． （-1-$\sqrt{2}$，-2）∪（2，1+$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 分類討論，利用直線與圓相切，求出b的值，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，x＜0，y＞0時(shí)，兩曲線C₁：（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$和C₂：（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=1，
直線y=x+b曲線C₁與相切，圓心到直線的距離d=$\frac{|-1+b|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=±2，
直線y=x+b曲線C₂與相切，圓心到直線的距離d=$\frac{|-1+b|}{\sqrt{2}}$=1，b=1±$\sqrt{2}$，
僅有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)2＜b＜1+$\sqrt{2}$．
根據(jù)對(duì)稱性，x＞0，y＜0時(shí)，僅有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)-1-$\sqrt{2}$＜b＜-2．
綜上所述，-1-$\sqrt{2}$＜b＜-2或2＜b＜1+$\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．