Question

13．在平面直角坐標系中，令$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（0，1），動點P從P₀（-1，2）出發(fā)，沿著與向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$相同的方向作勻速直線運動，速度為|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$|；另一動點Q，從Q₀（-2，-1）出發(fā)，沿著與向量3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$相同的方向作勻速直線運動，速度為|3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$|；設P、Q在時刻t=0秒時分別在P₀、Q₀處，
（1）動點P和Q的運動速度大小分別是多少？
（2）當$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$時，t的值是多少？

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$=（1，1），$3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}$=（3，2），利用向量數(shù)量積運算性質即可得出；
（2）設$\overrightarrow{{P}_{0}P}$=t$\sqrt{2}$$（\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）$，則$\overrightarrow{OP}$=（$\sqrt{2}$t-1，$\sqrt{2}t$+2），設$\overrightarrow{{Q}_{0}Q}$=$\sqrt{13}$t$（3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）$，則$\overrightarrow{OQ}$=（3$\sqrt{13}$t-2，2$\sqrt{13}$t-1），可得$\overrightarrow{PQ}$），又$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$=（-1，-3），當$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$時，則$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$=0．

解答 解：（1）$\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}$=（1，1），$3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}$=（3，2），
∴$|\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}|$=$\sqrt{2}$，|3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$；
（2）設$\overrightarrow{{P}_{0}P}$=t$\sqrt{2}$$（\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）$，則$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{O{P}_{0}}$+$\sqrt{2}$t（1，1）=（$\sqrt{2}$t-1，$\sqrt{2}t$+2），
設$\overrightarrow{{Q}_{0}Q}$=$\sqrt{13}$t$（3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）$，則$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{O{Q}_{0}}$+$\sqrt{13}$t（3，2）=（3$\sqrt{13}$t-2，2$\sqrt{13}$t-1），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（$3\sqrt{13}t-\sqrt{2}t$-1，2$\sqrt{13}$t-$\sqrt{2}$t-3），
又$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$=（-1，-3），
當$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$時，
則$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$=-（$3\sqrt{13}$t-$\sqrt{2}$t-1）-3（2$\sqrt{13}$t-$\sqrt{2}$t-3）=0，
解得t=$\frac{10}{9\sqrt{13}-4\sqrt{2}}$=$\frac{10（9\sqrt{13}+4\sqrt{2}）}{1021}$，
∴當$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{{P}_{0}{Q}_{0}}$時，t=$\frac{10（9\sqrt{13}+4\sqrt{2}）}{1021}$．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積運算性質、向量垂直與數(shù)量積的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．