Question

已知

i

=（1，0），

c

=（0，

2

），若過點A（0，

2

）、以

i

-λ

c

為法向量的直線l₁與過點B（0，-

2

）、以

c

+λ

i

為法向量的直線l₂相交于動點P．
（1）求直線l₁和l₂的方程；
（2）求直線l₁和l₂的斜率之積k₁k₂值，并證明動點P的軌跡是一個橢圓；
（3）在（2）的條件下，設橢圓的兩個焦點為E，F．若M，N是l：x=2

2

上兩個不同的動點，且

EM

•

FN

=0，試問當|MN|取最小值時，向量

EM

+

FN

與

EF

是否平行，并說明理由．

Answer 1

考點：與直線有關的動點軌跡方程,平面向量數量積的運算,直線的一般式方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出直線的法向量，即可求直線l₁和l₂的方程；
（2）利用（1）中直線l₁和l₂的方程，求出P的坐標，消元即可得出結論；
（3）由

EM

•

FN

=0得(

2

，m)•(3

2

，n)=0，即mn=-6，從而可求|MN|的最小值，向量

EM

+

FN

與

EF

平行．

解答： （1）解：由題意，

i

-λ

c

=（1，-

2

λ），直線l₁過點A（0，

2

），
∴l1：y=

2

2λ

x+

2

；
同理l2：y=-

2 λ

2

x-

2

；
（2）證明：由（1）知，k1k2=-

1

2

，P（

4λ

1+λ2

，

3 2 + 2 λ2

1+λ2

）
消去λ，可得橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（3）解：由（2）知E(

2

，0)，F(-

2

，0)，
設M(2

2

，m)，N(2

2

，n)．
由

EM

•

FN

=0得(

2

，m)•(3

2

，n)=0，即mn=-6，
則當且僅當m=

6

，n=-

6

時，|MN|取到最小值為2

6

，
此時

EM

+

FN

=(

2

，

6

)+(3

2

，-

6

)=(4

2

，0)，與

EF

=(-2

2

，0)是平行的．

點評：本題考查直線方程，考查平面向量數量積的運算，考查學生的計算能力，難度中等．