Question

1．下列命題中錯誤的是（　�。�

• A． 圓柱的軸截面是過母線的截面中面積最大的一個
• B． 圓錐的軸截面是所在過頂點的截面中面積最大的一個
• C． 圓臺的所有平行于底面的截面都是圓面
• D． 圓錐所有的軸截面是全等的等腰三角形

Answer 1

分析 對于A，B，計算出截面面積與軸截面面積比較大小即可判斷，對于C，D，利用旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析判斷．

解答 解：對于A，設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，設(shè)圓柱的過母線的截面四邊形在圓柱底面的邊長為a，則截面面積S=ah≤2rh．
∴當(dāng)a=2r時截面面積最大，即軸截面面積最大，故A正確．
對于B，設(shè)圓錐SO的底面半徑為r，高為h，過圓錐定點的截面在底面的邊長為AB=a，則O到AB的距離為$\sqrt{{r}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$，
∴截面三角形SAB的高為$\sqrt{{h}^{2}+{r}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$，∴截面面積S=$\frac{1}{2}a$$\sqrt{{h}^{2}+{r}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}（{h}^{2}+{r}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}）}$≤$\sqrt{（\frac{{h}^{2}+{r}^{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{{h}^{2}+{r}^{2}}{2}$．
故截面的最大面積為$\frac{{h}^{2}+{r}^{2}}{2}≥hr$．故B錯誤．
對于C，由圓臺的結(jié)構(gòu)特征可知平行于底面的截面截圓臺，所得幾何體仍是圓臺，故截面為圓面，故C正確．
對于D，由于圓錐的所有母線長都相等，軸截面的底面邊長為圓錐底面的直徑，故圓錐所有的軸截面是全等的等腰三角形，故D正確．
故選：B．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題．