Question

已知函數(shù)f（x）=|lnx|，若存在三個不相等的正數(shù)a、b、c使得

f(a)

a

=

f(b)

b

=

f(c)

c

=k，則k的取值范圍為（　�。�

• A、（e，+∞）
• B、（

  1

  e

  ，+∞）
• C、（0，e）
• D、（0，

  1

  e

  ）

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造方程f（x）=kx，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：根據(jù)題意可知方程f（x）=kx有三個不相等的正實根，a，b，c，
作出函數(shù)f（x）的圖象如題：
設(shè)過原點與函數(shù)y=lnx的圖象相切的切線為l，切點為P（m，n），
則f′(x)=

1

x

，即切線斜率k=f′(m)=

1

m

，
則切線方程為：y-lnm=

1

m

（x-m），
當(dāng)x=0，y=0時，-lnm=

1

m

×（-m）=-1，解得m=e，
即切線的斜率為

1

e

，
即k的取值范圍是（0，

1

e

），
故選：D．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用圖象解決函數(shù)零點問題，綜合性較強．