Question

某廠2014年初用36萬元購進一生產(chǎn)設備，并立即投入生產(chǎn)，該生產(chǎn)設備第一年維修保養(yǎng)費用4萬元，從第二年開始，每年所需維修保養(yǎng)費用比上一年增加2萬元，該生產(chǎn)設備使用后，每年的年收入為23萬元，該生產(chǎn)設備使用戈年后的總盈利額為y萬元．問：
（I）從第幾年開始，該廠開始盈利（總盈利額為正值）；
（Ⅱ）到哪一年，年平均盈利額能達到最大值？此時工廠共獲利多少萬元？
（前x年的總盈利額=前x年的總收入一前x年的總維修保養(yǎng)費用一購買設備的費用）

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用

專題：應用題,函數(shù)的性質及應用,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用

分析：由題意先寫出y=23x-[4x+

x(x-1)

2

×2]-36=-x²+20x-36（x∈N^*）；
（1）解不等式-x²+20x-36＞0即可；
（2）化簡

y

x

=20-（x+

36

x

），再利用基本不等式求最值即可．

解答： 解：前x年每年的維修保養(yǎng)費用構成首項為4，公差為2的等差數(shù)列，
∴前x年的總維修保養(yǎng)費用為[4x+

x(x-1)

2

×2]萬元；
∴y=23x-[4x+

x(x-1)

2

×2]-36=-x²+20x-36（x∈N^*）；
（I）解不等式-x²+20x-36＞0得，2＜x＜18；
故從第3年開始，該廠開始盈利；
（Ⅱ）∵

y

x

=20-（x+

36

x

）≤20-12=8；
（當且僅當x=6時，等號成立）；
∴到2019年，年平均盈利額能達到最大值，此時工廠共獲利48萬元．

點評：本題考查了函數(shù)的性質的應用及基本不等式的應用，屬于中檔題．