Question

4．設(shè)a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$2cosxdx，則二項(xiàng)式（ax³-$\frac{1}{{x}^{2}}$）⁶展開式中不含x³項(xiàng)的系數(shù)和是161．

Answer 1

分析 利用微積分基本定理可求得a，再求出二項(xiàng)式展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和與含x³項(xiàng)的系數(shù)，二者作差即可．

解答 解：∵a=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$2cosxdx=2sinx|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=2，
則（2x³-$\frac{1}{{x}^{2}}$）⁶其二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=（-1）^rC₆^r•（x³）^6-r•2^6-r•x^-2r=（-1）^rC₆^r•2^6-r•x^18-5r，
令18-5r=3得：r=3．
∴二項(xiàng)式（2x³-$\frac{1}{{x}^{2}}$）⁶展開式中含x³項(xiàng)的系數(shù)為：-8×20=-160．
令x=1得二項(xiàng)式展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為：（2-1）⁶=1，
∴二項(xiàng)式展開式中不含x³項(xiàng)的系數(shù)和是1-（-160）=161．
故答案為：161．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理與微積分基本定理，著重考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，考查理解與運(yùn)算的能力，屬于中檔題．