Question

設點、分別是橢圓的左、右焦點,為橢圓上任意一點,且的最小值為.

（I）求橢圓的方程;

（II）設直線（直線、不重合）,若、均與橢圓相切，試探究在軸上是否存在定點,使點到、的距離之積恒為1?若存在,請求出點坐標;若不存在,請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）定點存在,其坐標為或.

【解析】

試題分析：本題考查橢圓的標準方程以及直線與橢圓的位置關系等數學知識，考查分析問題解決問題的能力和計算能力，考查函數思想和分類討論思想.第一問，設出點坐標，用代數法解題，得到向量和的坐標，利用向量的數量積得出表達式，求出最小值，即可解出的值，即確定了的值，寫出橢圓的方程；第二問，由于直線與橢圓相切，所以直線與橢圓方程聯立消參，得出方程的判別式等于0，得出，同理，得出，所以，因為兩直線不重合，所以，若存在點，利用點到直線的距離公式得到距離之積為1的表達式，解出的值，由于的值存在，所以存在點，寫出坐標即可.

試題解析：（I）設,則有,

由最小值為得,

∴橢圓的方程為 4分

（II）把的方程代入橢圓方程得

∵直線與橢圓相切,∴,化簡得

同理可得:

∴,若,則重合,不合題意,

∴,即 8分

設在軸上存在點,點到直線的距離之積為1,則

,即,

把代入并去絕對值整理,或者

前式顯然不恒成立;而要使得后式對任意的恒成立

則,解得;

綜上所述,滿足題意的定點存在,其坐標為或 . 12分

考點：1.橢圓的標準方程；2.向量的數量積；3.點到直線的距離公式.