Question

3．設(shè)a＞0，b＞0，若$\sqrt{5}$是5^a與5^b的等比中項，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為（　　）

• A． 8
• B． 4
• C． 1
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，建立方程關(guān)系，利用1的代換，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵$\sqrt{5}$是5^a與5^b的等比中項，
∴5^a•5^b=（$\sqrt{5}$）²=5，
即5^a+b=5，
則a+b=1，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）（a+b）=1+1+$\frac{a}$+$\frac{a}$≥2+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=2+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{a}$，即a=b=$\frac{1}{2}$時，取等號，
即$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為4，
故選：B

點評 本題主要考查等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，以及利用基本不等式求最值問題，注意1的代換．