Question

1．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，若F關(guān)于直線y=$\sqrt{3}$x的對稱點P在雙曲線上，則C的離心率為（　　）

• A． 2
• B． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 求出雙曲線右焦點關(guān)于直線y=$\sqrt{3}$x的對稱點P的坐標，代入雙曲線方程整理求得雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$的右焦點F（c，0），
設F（c，0）關(guān)于于直線y=$\sqrt{3}$x的對稱點P（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}}{2}=\sqrt{3}•\frac{{x}_{0}+c}{2}}\\{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-\frac{c}{2}}\\{{y}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}c}\end{array}\right.$，即P（$-\frac{c}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}c$），
代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$得：${e}^{2}=4-2\sqrt{3}$（舍），或${e}^{2}=4+2\sqrt{3}$．
∴e=$\sqrt{3}+1$．
故選：D．

點評 本題考查點關(guān)于直線的對稱點的求法，考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，是基礎的計算題．