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函數(shù)f(x)=
x
1-x
(0＜x＜1)的反函數(shù)為f-1（x），數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=
1
2
，an+1=f-1（an），函數(shù)y=f-1（x）的圖象在點（n，f-1（n））（n∈N*）處的切線在y軸上的截距為bn．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列{
bn
a
2
n
-
λ
an
}；的項中僅
b5
a
2
5
-
λ
a5
最小，求λ的取值范圍；
（3）令函數(shù)g(x)=[f-1(x)+f(x)]- 
1-x2
1+x2
，0＜x＜1．?dāng)?shù)列{xn}滿足：x1=
1
2
，0＜xn＜1且xn+1=g（xn），（其中n∈N*）．證明：
(x1-x2)2
x1x2
+
(x2-x3)2
x2x3
+…+
(xn+1-xn)2
xnxn+1
＜
2
+1
8
．
分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的反函數(shù)f-1(x)=
x
1+x
(x＞0)．an+1=f-1(an)=
an
1+an
，由此能求出數(shù)列{an}的通項公式；
（2）由f-1(x)=
x
1+x
(x＞0)，知[f-1(x)]′=
1
(1+x)2
，所以y=f-1（x）在點（n，f-1（n））處的切線方程為y-
n
n+1
=
1
(1+n)2
(x-n)，由此入手能求出λ的取值范圍．
（3）g(x)=[f-1(x)+f(x)]•
1-x2
1+x2
=[
x
1+x
+
x
1-x
]•
1-x2
1+x2
=
2x
1+x2
，x∈(0，1)．所以xn+1-xn=xn(1-xn)•
1+xn
x
2
n
+1
，又因0＜xn＜1，則xn+1＞xn．由此入手能夠證明
(x1-x2)2
x1x2
+
(x2-x3)2
x2x3
+…+
(xn+1-xn)2
xnxn+1
＜
2
+1
8
．
解答：解：（1）令y=
x
1-x
，解得x=
y
1+y
；由0＜x＜1，解得y＞0．
∴函數(shù)f（x）的反函數(shù)f-1(x)=
x
1+x
(x＞0)．
則an+1=f-1(an)=
an
1+an
，
1
an+1
-
1
an
=1．
∴{
1
an
}是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，故an=
1
n+1
．（4分）

（2）∵f-1(x)=
x
1+x
(x＞0)，∴[f-1(x)]′=
1
(1+x)2
，
∴y=f-1（x）在點（n，f-1（n））處的切線方程為y-
n
n+1
=
1
(1+n)2
(x-n)，
令x=0得bn=
n2
(1+n)2
．∴
bn
a
2
n
-
λ
an
=n2-λ(n+1)=(n-
λ
2
)2-λ-
λ2
4
．
∵僅當(dāng)n=5時取得最小值，∴4.5＜
λ
2
＜5.5．
∴λ的取值范圍為（9，11）（8分）

（3）g(x)=[f-1(x)+f(x)]•
1-x2
1+x2
=[
x
1+x
+
x
1-x
]•
1-x2
1+x2
=
2x
1+x2
，x∈(0，1)．
所以xn+1-xn=xn(1-xn)•
1+xn
x
2
n
+1
，
又因0＜xn＜1，則xn+1＞xn（10分）
顯然1＞xn+1＞xn＞x2＞
1
2
．xn+1-xn=xn(1-xn)•
1+xn
x
2
n
+1
≤
1
4
•
1
xn+1+
2
xn+1
-2
＜
1
4
•
1
2
2
-2
=
2
+1
8

∴
(xn+1-xn)2
xnxn+1
=
xn+1-xn
xnxn+1
(xn+1-xn)=(xn+1-xn)(
1
xn
-
1
xn+1
)＜
2
+1
8
(
1
xn
-
1
xn+1
)
∴
(x1-x2)2
x1x2
+
(x2-x3)2
x2x3
++
(xn+1-xn)2
xnxn+1
＜
2
+1
8
[(
1
x1
-
1
x2
)+(
1
x2
-
1
x3
)++(
1
xn
-
1
xn+1
)]
=
2
+1
8
(
1
x1
-
1
xn+1
)=
2
+1
8
(2-
1
xn+1
)（12分）
∵
1
2
＜xn+1＜1，∴1＜
1
xn+1
＜2，∴0＜2-
1
xn+1
＜1
∴
(x1-x2)2
x1x2
+
(x2-x3)2
x2x3
++
(xn+1-xn)2
xnxn+1
=
2
+1
8
(2-
1
xn+1
)＜
2
+1
8
（14分）
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f(x)=
x1+|x|
，下列結(jié)論正確的是
④
④
．
①f（x）在（-∞，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)
②?m∈（0，1），使得方程f（x）=m有兩個不等的實數(shù)解；
③?k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上有三個零點；
④?x1，x2∈R，若x1≠x2，則f（x1）≠f（x2）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•南匯區(qū)二模）三位同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=
x
1+|x|
（x∈R） 時，分別給出下面三個結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域為 （-1，1）
②若x1≠x2，則一定有f（x1）≠f（x2）
③若規(guī)定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，則fn(x)=
x
1+n|x|
對任意n∈N*恒成立．
你認(rèn)為上述三個結(jié)論中正確的個數(shù)有
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=-
x1+|x|
，則滿足f（2-x2）+f（x）＜0的x的取值范圍是
（-1，2）
（-1，2）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x
1-x
(0＜x＜1)的反函數(shù)為f-1（x）．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f-1（an）（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）已知數(shù)列{bn}滿足b1=
1
2
，bn+1=(1+bn)2•f-1(bn)，求證：對一切正整數(shù)n≥1都有
1
a1+b1
+
1
2a2+b2
+…+
1
nan+bn
＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•揭陽一模）已知函數(shù)f(x)=
αx
1+xα
(x＞0，α為常數(shù)），數(shù)列{an}滿足：a1=
1
2
，an+1=f（an），n∈N*．
（1）當(dāng)α=1時，求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）在（1）的條件下，證明對?n∈N*有：a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2=
n(n+5)
12(n+2)(n+3)
；
（3）若α=2，且對?n∈N*，有0＜an＜1，證明：an+1-an＜
2
+1
8
．

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同步練習(xí)冊答案