Question

【題目】設(shè)f（x）＝etx（t＞0），過點(diǎn)P（t，0）且平行于y軸的直線與曲線C：y＝f（x）的交點(diǎn)為Q，曲線C過點(diǎn)Q的切線交x軸于點(diǎn)R，若S（1，f（1）），則△PRS的面積的最小值是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

計(jì)算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.

∵PQ∥y軸，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，），

又f（x）＝etx（t＞0）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝tetx，∴過Q的切線斜率k＝t，

設(shè)R（r，0），則k，∴r＝t，

即R（t，0），PR＝t﹣（t），

又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面積為S，

導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，

當(dāng)t＞1時(shí)，S′＞0，當(dāng)0＜t＜1時(shí)，S′＜0，∴t＝1為極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，

∴△PRS的面積的最小值為．

故答案為：．