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已知二次函數f（x）的二次項系數a（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集為（-1，2）．
（1）若方程f（x）+3a=0有兩個相等的實根，求f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）的最小值不大于-3a，且函數數學公式在R上為減函數，求實數a的取值范圍．

解：（1）設二次函數為f（x）=ax2+bx+c
∵f（x）＜2x的解集為（-1，2）．
∴-1，2是方程ax2+（b-2）x+c=0的兩個根
∴
∵方程f（x）+3a=0有兩個相等的實根即
ax2+bx+c+3a=0有兩個相等的實根
∴△=b2-4a（c+3a）=0②
解①②得
∴
（2）根據題意得
∵a＞0，所以f（x）的最小值為
則
得
由在R上是減函數，
在R上恒成立
∴
得到，
綜上所述
分析：（1）據二次不等式的解集與相應的二次方程的根的關系，判斷出-1，2是方程的根，利用韋達定理列出a，b，c滿足的等式；再利用二次方程有兩個相等的實根，判別式等于0列出關于a，b，c的另一個等式，解方程組求出f（x）的解析式．
（2）通過對二次函數配方求出其最小值，列出不等式求出a的范圍；求出G（x）的導函數，令其大于等于0恒成立，求出a的范圍．
點評：解決二次不等式的解集問題常轉化為二次方程的根問題，利用韋達定理得到系數間的關系；解決函數在某個區(qū)間上的單調性已知，求參數的范圍問題，常求出函數的導函數，令導函數大于等于0（或小于等于0）恒成立．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數的圖象經過原點，且滿足f（2）=0，求實數m的值．
（Ⅱ）若函數在區(qū)間[2，+∞）上為增函數，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結論給出證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數f（x）=x2+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數．設g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知二次函數f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經過原點，求f（x）的解析式．

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