Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，若存在，使不等式成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2

【解析】分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）問(wèn)題等價(jià)于，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求出，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，從而求出的最小值即可.

詳解：（1）解：∵

∴

∴當(dāng)即時(shí)，對(duì)恒成立

此時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間

當(dāng)，即時(shí)，由，得，由，得

此時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為,無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

（2）解：由，得：

當(dāng)時(shí)，上式等價(jià)于

令

據(jù)題意，存在，使成立，則只需，

令，顯然在上單調(diào)遞增

而，

∴存在，使，即

又當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增

∴當(dāng)時(shí)，有極小值（也是最小值）

∴

∵ ，即，∴，∴

又，且， ∴的最小值為2.