Question

9．下列命題中正確命題的序號(hào)為①②③④．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）
①用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線(xiàn)a上，直線(xiàn)b在平面α外，直線(xiàn)l與平面β相交于點(diǎn)B”為A∈a，b?α，l∩β=B；
②如果直線(xiàn)AB、CD是兩條異面直線(xiàn)，那么直線(xiàn)AC、BD是異面直線(xiàn)；
③直線(xiàn)a∥平面α，直線(xiàn)b⊥平面α，則a⊥b；
④四面體ABCD中，若AB⊥CD，AD⊥BC，則AC⊥BD．

Answer 1

分析 在①中，由點(diǎn)在直線(xiàn)上，直線(xiàn)在平面外，直線(xiàn)與平面相交于點(diǎn)的表示法能判斷①的正誤；在②中使用反證法能判斷②的正誤；在③中，由直線(xiàn)與平面平行和直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理得a⊥b；在④中，要證線(xiàn)線(xiàn)垂直，可先證線(xiàn)面垂直，進(jìn)而由線(xiàn)面垂直的定義（或性質(zhì)）得出線(xiàn)線(xiàn)垂直．

解答 解：①點(diǎn)A在直線(xiàn)a上，表示為A∈a；直線(xiàn)b在平面α外，表示為b?α；直線(xiàn)l與平面β相交于點(diǎn)B，表示為l∩β=B．故①正確；
②假設(shè)直線(xiàn)AC、BD是共面直線(xiàn)，則A、B、C、D共面，則直線(xiàn)AB、CD是兩條共面直線(xiàn)，
這與直線(xiàn)AB、CD是兩條異面直線(xiàn)相矛盾，故直線(xiàn)AC、BD是異面直線(xiàn)，故②正確；
③∵直線(xiàn)a∥平面α，直線(xiàn)b⊥平面α，∴由直線(xiàn)與平面平行和直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理得a⊥b，故③正確；
④過(guò)A作AO⊥平面BCD，垂足為O，則AO⊥CD．∵AB⊥CD，AO∩AB=A，∴CD⊥平面ABO．∵BO?平面ABO，∴CD⊥BO．
同理BC⊥DO．則O為△BCD的重心，
∴CO⊥BD．∵AO⊥BD，CO∩AO=O，
∴BD⊥平面ACO，∴AC?平面ACO，∴AC⊥BD．故④正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．