Question

10．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是平面內(nèi)的非零向量，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$不共線，則關(guān)于x的方程$\overrightarrow{a}$x²+$\overrightarrow$x+$\overrightarrow{c}$=0的解的情況是（　　）

• A． 至少有一個實數(shù)解
• B． 至多有一個實數(shù)解
• C． 至多有兩個實數(shù)解
• D． 可能有無數(shù)個實數(shù)解

Answer 1

分析 原方程即$\overrightarrow{c}$=-$\overrightarrow{a}$x²-$\overrightarrow$x，由于$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是平面內(nèi)的非零向量，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$不共線，$\{\overrightarrow{a}，\overrightarrow\}$可視為“基底”，根據(jù)平面向量基本定理知，有且僅有一對實數(shù)λ₁、λ₂，使得λ₁=-x²且λ₂=-x，即可判斷出結(jié)論．

解答 解：原方程即$\overrightarrow{c}$=-$\overrightarrow{a}$x²-$\overrightarrow$x，由于$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$是平面內(nèi)的非零向量，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$不共線，$\{\overrightarrow{a}，\overrightarrow\}$可視為“基底”，
根據(jù)平面向量基本定理知，有且僅有一對實數(shù)λ₁、λ₂，使得λ₁=-x²且λ₂=-x，
即當(dāng)λ₁=-λ₂²時方程有一解，否則當(dāng)λ₁ ≠-λ₂²時方程無解，
故關(guān)于實數(shù)x的方程$\overrightarrow{a}$x²+$\overrightarrow$x+$\overrightarrow{c}$=0的解的情況是至多有一個解．
故選：B．

點評 本題考查了平面向量基本定理、方程的解的情況，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．