Question

7．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，P是底面ABCD內(nèi)一動點，且滿足PC⊥PD，則當P運動時，A₁P²的最小值是（　�。�

• A． 12-2$\sqrt{2}$
• B． 12+2$\sqrt{2}$
• C． 10+2$\sqrt{5}$
• D． 10-2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由已知得P點軌跡是以DC為直徑位于平面ABCD內(nèi)的半圓，取DC中點O，D₁C₁中點F，AB中點E，以O(shè)為原點，OE為x軸，OC為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出當P運動時，A₁P²的最小值．

解答 解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，P是底面ABCD內(nèi)一動點，且滿足PC⊥PD，
∴P點軌跡是以DC為直徑位于平面ABCD內(nèi)的半圓，
取DC中點O，D₁C₁中點F，AB中點E，
以O(shè)為原點，OE為x軸，OC為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標系，
則P（cosθ，sinθ，0），0≤θ≤2π，A₁（2，-1，2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=（2-cosθ，-1-sinθ，2），
∴A₁P²=${\overrightarrow{{A}_{1}P}}^{2}$=（2-cosθ）²+（-1-sinθ）²+4
=4-4cosθ+cos²θ+1+2sinθ+sin²θ+4
=10+2$\sqrt{5}$sin（θ+α），
∴當P運動時，A₁P²的最小值是10-2$\sqrt{5}$．
故選：D．

點評 本題考查線段平方的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．