Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）＜c的解集為（m-3，m+3），則實數(shù)c的值為（　�。�

• A． 3
• B． 6
• C． 9
• D． 12

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的值域求出a與b的關(guān)系，然后根據(jù)不等式的解集可得f（x）=c的兩個根為m-3，m+3，最后利用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解之即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域為[0，+∞），
∴f（x）=x²+ax+b=0只有一個根，即△=a²-4b=0則b=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
不等式f（x）＜c的解集為（m-3，m+3），
即為x²+ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$＜c解集為（m-3，m+3），
則x²+ax+$\frac{{a}^{2}}{4}$-c=0的兩個根為m-3，m+3，
∴m-3+m+3=2m=-a，即m=-$\frac{1}{2}$a，
（m-3）•（m+3）=m²-9=$\frac{{a}^{2}}{4}$-c，
即為$\frac{{a}^{2}}{4}$-9=$\frac{{a}^{2}}{4}$-c，
解得c=9．
故選：C．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的值域，二次不等式的解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想，以及韋達定理，考查計算能力，屬于中檔題．