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如圖，四棱錐P－ABCD中，ABCD為短形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD＝90°，面PAD⊥面ABCD，且AB＝1，AD＝2，E、F分別為PC和BD的中點．

(Ⅰ)證明：EF∥面PAD；

(Ⅱ)證明：面PDC⊥面PAD；

(Ⅲ)求四棱錐P－ABCD的體積．

答案：
解析：

　　解：

　　(Ⅰ)如圖，連結AC，

　　∵ABCD為矩形，且F是BD的中點，

　　∴對角線AC必經(jīng)過F　　1分

　　又E是PC的中點，

　　∴EF∥AP　　2分

　　∵EF在面PAD外，PA在面內，

　　∴EF∥PAD　　4分

　　(Ⅱ)∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴CD⊥面PAD，

　　又AP面PAD，∴AP⊥CD　　6分

　　又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直線，AP⊥面PCD　　7分

　　又AD面PAD，所以面PDC⊥面PAD　　8分

　　(Ⅲ)取AD中點為O，連結PO，

　　∵面PAD⊥面ABCD及△PAD為等腰直角三角形，

　　∴PO⊥面ABCD，

　　即PO為四棱錐P－ABCD的高　　10分

　　∵AD＝2，∴PO＝1，

　　∴四棱錐P－ABCD的體積　　12分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，且CD與平面PAD所成的角為45°，求點D到平面PCE的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD，OE⊥PC于E．
（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）設PA=AB=2，求二面角B-PC-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，點E，F(xiàn)分別是AB和PC的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
12
CD=2，PA=2，M，E，F(xiàn)分別是PA，PC，PD的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

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