Question

已知直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，以為切點(diǎn)分別作的切線(xiàn)，兩切線(xiàn)交于點(diǎn).

①求證：；②若直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2) 根據(jù)直線(xiàn)斜率互為負(fù)倒數(shù)來(lái)得到證明，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形面積的取到最小值。

【解析】

試題分析：（I）由題意知，設(shè)

化簡(jiǎn)得     3分

（Ⅱ）①設(shè)，，

由消去，得，顯然.

所以， 

由，得，所以，

所以，以為切點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率為，

所以，以為切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，又，

所以，以為切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為……（1）

同理，以為切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為……（2）

（2）-（1）并據(jù)得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

代入（1）易得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，顯然

當(dāng)時(shí)，，從而   8分

②由已知，顯然直線(xiàn)的斜率不為0，由①知，所以，

則直線(xiàn)的方程為，

設(shè)設(shè)，，

由消去，得，顯然，

所以，.

又

 

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051508391309701610/SYS201305150839427376348941_DA.files/image033.png">，所以，

所以，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形面積的取到最小值    13分

考點(diǎn)：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是借助于向量的模來(lái)表示得到軌跡方程，并聯(lián)立方程組來(lái)得到弦長(zhǎng)公式，進(jìn)而得到面積的表示，屬于中檔題。