Question

設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1．

在滿足條件①②的所有圓中，求圓心到直線l：x－2y＝0的距離最小的圓的方程．

Answer 1

答案：
解析：

[解法一]設(shè)圓的圓心坐標為P(a，b)，半徑為r，則點P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|． 　　 　　由r2＝2b2，知r2＝2．故所求圓的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2． 　　 　　將其代入②式得2b2±4b＋2＝0，解得b＝±1． 　　將b＝±1代入r2＝2b2，得r2＝2． 　　又由r2＝a2＋1，得a＝±1． 　　綜上，解得a＝±1，b＝±1，r2＝2． 　　由|a－2b|＝1，知a、b同號． 　　于是，所求圓的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2．

提示：

可設(shè)所求圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，它有三個待定系數(shù)a、b、r．將條件②等價轉(zhuǎn)化為所截圓弧所對的圓心角的度數(shù)為90°，進而可求出r與b的關(guān)系．將條件①等價轉(zhuǎn)化為r與a的關(guān)系．最后利用算術(shù)平均值不等式或方程有實數(shù)解的條件：判別式不小于0等的方法求出a、b、r．