Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，且過(guò)點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，（都在軸上方），且.

（ⅰ）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求的面積；

（ⅱ）直線是否恒過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率，可得.

所以，所以.

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，

所以，即.

解得，故.

∴橢圓的方程為. -----------------4分

（Ⅱ）橢圓的左焦點(diǎn)為.

（�。┊�(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

直線的斜率，所以.

直線的方程為，即.

而.

點(diǎn)到直線的距離.

所以面積. ----------------- 8分

（ⅱ）設(shè)直線方程為，，.

聯(lián)立方程組，

消得，-----------------10分

由根與系數(shù)的關(guān)系可得，.

所以

所以

即

代入整理，

整理得. -----------------13分

所以直線的方程為，

所以直線總過(guò)定點(diǎn). -----------------14分

【命題意圖】本題考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線和橢圓的位置關(guān)系、三角形面積的求解以及定點(diǎn)的探究性問(wèn)題，意在考查基本的邏輯推理能力、運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)等.