Question

【題目】已知函數(shù)（其中）.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若對任意的，關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導數(shù)，再討論二次方程根的個數(shù)與大小，確定導函數(shù)符號，進而確定函數(shù)單調(diào)性（2）先將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題： ，再結(jié)合（1）討論函數(shù)最小值取法，最后根據(jù)不等式解集得的取值范圍.

試題解析：（1）的定義域為

（i）若，則.由得或；由得

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（ii）若，則在上單調(diào)遞增；

（iii）若，則，由得或；由得

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）由（1）知，（i）若，

當時，即時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

，故對不恒成立；

當時，即時， 在上單調(diào)遞增，

（ii）若在上單調(diào)遞增，則，故；

綜上所述， 的取值范圍為.