Question

已知為函數(shù)圖象上一點，為坐標原點，記直線的斜率．
（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)的取值范圍；
（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）求證：

Answer 1

（1）實數(shù)的取值范圍是；（2）實數(shù)的取值范圍是；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先利用導數(shù)求出函數(shù)的解析式，并利用導數(shù)求出函數(shù)的極值點，并將極值點限制在區(qū)間內(nèi)，得出有關(guān)的不等式，求解出實數(shù)的取值范圍；（2）利用參數(shù)分離法將問題在區(qū)間上恒成立轉(zhuǎn)化為不等式在區(qū)間上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，從而將問題轉(zhuǎn)化為，借助導數(shù)求函數(shù)的最小值，從而得到實數(shù)的取值范圍；（3）取，由（2）中的結(jié)論，即在上恒成立，從而得到在上恒成立，，令，代入上述不等式得到，結(jié)合累加法即可證明不等式.
試題解析：（1）由題意，               1分
所以                   2分
當時，；當時，．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在處取得極大值．                      3分
因為函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，
所以，得．即實數(shù)的取值范圍是．        4分
（2）由得，令，
則．                           6分
令，則，
因為所以,故在上單調(diào)遞增．        7分
所以,從而
在上單調(diào)遞增,
所以實數(shù)的取值范圍是．                    9分
（3）由(2) 知恒成立,
即         11分
令則，        12分
所以， ，  ,．
將以上個式子相加得：
，
故．               14分
（解答題的其他解法可酌情給分）