Question

（2008•海珠區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）=x³+sinx，若0≤θ≤

π

2

時(shí)，f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A．（0，1]
• B．（-∞，1）
• C．（-∞，1]
• D．(0，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：由于f（x）=x³+sinx，0≤θ≤

π

2

，可求得f′（x）=3x²+cosx＞0，可知f（x）為奇函數(shù)，增函數(shù)，然后可得f（mcosθ）＞f（m-1），從而得出mcosθ＞m-1，根據(jù)cosθ∈[0，1]，即可求解．

解答：解：由函數(shù)f（x）=）=x³+sinx，可知f（x）為奇函數(shù)，f′（x）=3x²+cosx，
又當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，cosx＞0，x²＞0，
∴f′（x）=3x²+cosx＞0，
當(dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，x²＞1，
∴f′（x）=3x²+cosx＞0，
綜上所述，對任意x∈R，f′（x）=3x²+cosx＞0
∴f（x）=）=x³+sinx是增函數(shù)；
∵f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，即f（mcosθ）＞f（m-1）恒成立，
∴mcosθ＞m-1，令g（m）=（cosθ-1）m+1，
當(dāng)0≤θ≤

π

2

，mcosθ＞m-1恒成立，等價(jià)于g（m）=（cosθ-1）m+1＞0恒成立．
∵0≤θ≤

π

2

，
∴cosθ∈[0，1]，
∴cosθ-1≤0，
∴當(dāng)θ=0時(shí)，（cos0-1）m+1＞0恒成立，①
當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，（cos

π

2

-1）m+1＞0恒成立，②
由①②得：m＜1．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)恒成立的問題，難點(diǎn)在于對函數(shù)f（x）=x³+sinx單調(diào)性的判斷，需分類討論，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造函數(shù)的方法，屬于難題．