Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若有零點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）討論的根的情況.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）作出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想得出當(dāng)兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn)時(shí)，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）作出函數(shù)和在上的圖象，根據(jù)兩函數(shù)圖象的頂點(diǎn)的高低得出方程的根的個(gè)數(shù).

（1）作出函數(shù)和的圖象如下圖所示，

由于雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最小值，即，

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有交點(diǎn).

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（2）二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線，

則該函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，.

作出函數(shù)和在上的圖象如下圖所示：

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)沒有交點(diǎn)，方程在無(wú)實(shí)根；

當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，方程在只有一根；

當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，方程在有兩實(shí)根.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)根；當(dāng)時(shí)，方程只有一根；當(dāng)時(shí)，方程有兩根.