Question

如圖所示，已知曲線C₁：y＝x²與曲線C₂：y＝－x²＋2ax(a＞1)交于點(diǎn)O、A，直線x＝t(0＜t≤1)與曲線C₁、C₂分別相交于點(diǎn)D、B，連接OD、DA、AB．

(1)寫出曲邊四邊形ABOD(陰影部分)的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式S＝f(t)；

(2)求函數(shù)S＝f(t)在區(qū)間(0，1]上的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由 　　解得或(2分)∴O(0，0)，A(a，a2)． 　　又由已知得B(t，－t2＋2at)，D(t，t2)， 　　∴5分 　　；6分 　　(2)＝t2－2at＋a2，令＝0，即t2－2at＋a2＝0．解得t＝(2－)a或t＝(2＋)a． 　　∵0＜t≤1，a＞1，∴t＝(2＋)a應(yīng)舍去．即t＝(2－)a；8分 　　若(2－)a≥1，即a≥時(shí)，∵0＜t≤1，∴≥0． 　　∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，S的最大值是＝a2－a＋．10分 　　若(2－)a＜1，即1＜a＜時(shí)， 　　當(dāng)0＜t＜(2－)a時(shí)，． 　　當(dāng)(2－)a＜t≤1時(shí)，． 　　∴在區(qū)間(0，(2－)a]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[(2－)a，1]上單調(diào)遞減． 　　∴＝(2－)a是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn) 　　∴的最大值是f((2－)a)＝[(2－)a]3－a[(2－)a]2＋a2(2－)a＝． 　　綜上所述．12分