Question

對于某些正整數(shù)n，存在A₁，A₂，…，A_n為集合{1，2，……，n}的n個不同子集，滿足下列條件：對任意不大于n的正整數(shù)i，j，①且每個A_i至少含有四個元素；②i∈A_j的充要條件是(其中i≠j)．為了表示這些子集，作n行n列的數(shù)表，規(guī)定第i行第j列的數(shù)為

(1)求該數(shù)表中每列至多有多少個－1．

(2)用n表示該數(shù)表中1的個數(shù)，并證明n≥9

(3)請構(gòu)造出集合{1，2，……，9}的9個不同子集A₁，A₂，…A₉，使得A₁，A₂，…A₉，滿足題設(shè)(寫出一種答案即可)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)根據(jù)①每個至少含有四個元素，得數(shù)表中每列至少有4個1， 　　所以數(shù)表中每列至多有n－4個－1． 　　(2)①中的表明數(shù)表的一條對角線上數(shù)字都是－1，②表明除這條對角線以外，和恰好一個為－1，而另一個為1，即數(shù)表中除此對角線以外，－1和1各占一半，所以數(shù)表中共有個1． 　　∵數(shù)表中每列至少有4個1 　　∴整個數(shù)表(共n列)至少有4n個1． 　　∴解得 　　(3)可以構(gòu)造如：＝{2，3，4，5}，＝{3，4，5，6}，＝{4，5，6，7}， 　　＝{5，6，7，8}，＝{6，7，8，9}，＝{1，7，8，9} 　　＝{1，2，8，9}，＝{1，2，3，9}，＝{1，2，3，4}