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已知數(shù)列{an}：1，1+
1
2
，1+
1
3
+
2
3
，1+
1
4
+
2
4
+
3
4
，…，1+
1
n
+
2
n
+…+
n-1
n
，…．
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an，并證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（II）設(shè)bn=
n
(an+1-an)n
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
（I）∵an=1+
1
n
+
2
n
+…+
n-1
n
=1+
(
1
n
+
n-1
n
)(n-1)
2
=
n+1
2
，
∴an+1-an=
(n+1)+1
2
-
n+1
2
=
1
2
，又a1=1，
∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，
1
2
為公差的等差數(shù)列；
（II）∵bn=
n
(an+1-an)n
=
n
(
1
2
)n
=n•2n，
∴Tn=b1+b2+…+bn=1×21+2×22+…+n•2n，①
∴2Tn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n•2n+1，②
①-②得：-Tn=21+22+…+2n-n•2n+1
=
2(1-2n)
1-2
-n•2n+1
=（1-n）•2n+1-2，
∴Tn=（n-1）•2n+1+2．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an} 2an+1=an+an+2（n∈N*），它的前n項(xiàng)和為Sn 且a5=5，S7=28 
（1）求數(shù)列{
1Sn
}前n項(xiàng)的和Tn
（2）若數(shù)列{bn}滿足b1=1，b n+1=bn+qan(q＞0)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，并比較bn•bn+2，b n+12的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}：1，
1
3
，
1
5
，
1
7
，…，則它的通項(xiàng)公式an=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•寧波二模）已知數(shù)列{an}是1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，{bn}是1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列．設(shè)cn=abn，Tn=c1+c2+…+cn（n∈N*），則當(dāng)Tn＞2013時(shí)，n的最小值是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•通州區(qū)一模）已知數(shù)列{an}：1，1+
1
2
，1+
1
3
+
2
3
，1+
1
4
+
2
4
+
3
4
，…，1+
1
n
+
2
n
+…+
n-1
n
，…．
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an，并證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（II）設(shè)bn=
n
(an+1-an)n
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}：1，
1
2
+
2
2
，
1
3
+
2
3
+
3
3
，…，
1
100
+
2
100
+…+
100
100
，…
（1）觀察規(guī)律，寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，它是個(gè)什么數(shù)列？
（2）若bn=
1
anan+1
(n∈N*)，設(shè)Sn=b1+b2+…+bn，求Sn．
（3）設(shè)cn=
1
2n
an，Tn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求Tn．

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