Question

已知函數f（x）=|x-2|-|x-5|，
（1）求函數f（x）的值域；
（2）解不等式f（x）≥x²-8x+15．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數的值域,其他不等式的解法

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：（1）通過對自變量x范圍的討論，去掉絕對值符號，利用函數的性質即可求得函數f（x）的值域；
（2）通過對自變量x范圍的討論，去掉絕對值符號，再解相應的二次不等式即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=|x-2|-|x-5|，
∴當x≤2時，f（x）=2-x-（5-x）=-3；
當2＜x＜5時，f（x）=x-2-（5-x）=2x-7∈（-3，3）；
當x≥5時，f（x）=x-2-（x-5）=3；
綜上所述，函數f（x）的值域為[-3，3]；
（2）∵|x-2|-|x-5|≥x²-8x+15，
∴當x≤2時，x²-8x+15≤-3，
解得x∈∅；
當2＜x＜5時，有x²-8x+15≤2x-7，
解得5-

3

≤x＜5；
當x≥5時，有x²-8x+15≤3，
即得5≤x≤6，
綜上所述，原不等式的解集為{x|5-

3

≤x≤6}．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，突出考查轉化思想與分類討論思想的綜合應用，考查解一元二次不等式的運算能力，屬于中檔題．