Question

函數(shù)f（x）=-x³+3x²在[-1，1]上的最大、小值分別為M和m，則

∫

M m

f（x）dx=

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值和最小值，然后利用函數(shù)的積分公式即可得到結論．

解答： 解：函數(shù)的導數(shù)為f′（x）=-3x²+6x，
由f′（x）=-3x²+6x=0得x=0或2，
∵x∈[-1，1]，
∴f′（x）=-3x²+6x=0的根為x=0．
當x∈（-1，0）時f′（x）＜0，此時函數(shù)單調遞減，
當x∈（0，1）時f′（x）＞0．此時函數(shù)單調遞增，
∴x=0時，f（x）取極小值f（0）=0．
又f（-1）=4，f（1）=2
∴最大值M=4，最小值m=0，
∴

∫

M m

f（x）dx=

∫

4 0

（-x³+3x²）dx=(-

1

4

x4+x3

)|

4 0

=0，
故答案為：0

點評：本題主要考查積分的計算，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值是解決本題的關鍵，要求熟練掌握函數(shù)的積分公式．