Question

.(本小題滿分14分）

如圖7，在直三棱柱中，，分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).

(1)求證:;(2)求三棱錐的體積;(3)求二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

【答案】

 

解:(1)證明:

證法一:在直三棱柱中,平面,平面

 

分別是的中點(diǎn)，

 

……1分

在中,

易證

在中,

同理可得

為等邊三角形, ……2分

又是的中點(diǎn), ……3分

……4分

……5分

證法二:以為原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸的正方向，的長度為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系. ……1分

由題設(shè)知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.

,,……2分

=0

,……3分

……4分

……5分

(2)解法一：取的中點(diǎn)，連

又

平面……6分

……7分

……8分

……9分

解法二：取的中點(diǎn)，連

又

……6分

三棱錐的體積為

……7分

……8分

=……9分

解法三：易知與是全等的邊長為的等邊三角形

等腰三角形的底邊上的高為

三角形的面積為……6分

由（1）知

三棱錐的體積為

……7分

……8分

……9分

（3）解法一：由

（2）解法一、二易知平面，過F作于H,連接HE

是的中點(diǎn)，

平面HEF，平面HEF

平面，平面

即是所求二面角的平面角. ……11分

在中,

……13分

二面角的余弦值是.……14分

解法二: 以為原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸的正方向，的長度為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系. ……10分

由題設(shè)知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.

,,……11分

設(shè)平面的法向量為

,取,得.……12分

DA

……13分

結(jié)合圖象知二面角的余弦值是.……14分

 

【解析】略