Question

3．在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，點(diǎn)F是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$的最小值是（　�。�

• A． -3
• B． -2
• C． -$\frac{3}{2}$
• D． -1

Answer 1

分析 運(yùn)用幾何圖形結(jié)合向量的運(yùn)用得出$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=λ（λ-1）$\overrightarrow{BA}$²+（2λ²-λ）$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BC}$+λ²$\overrightarrow{BC}$²=16λ²-8λ，0≤λ≤1，再運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性求解即可得出最小值．

解答 解：∵菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，
∴根據(jù)幾何圖形得出$\overrightarrow{BA}$$+\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BC}$=4×4×（-$\frac{1}{2}$）=-8，
$\overrightarrow{BA}$²=$\overrightarrow{BC}$²=16
設(shè)$\overrightarrow{BF}$=λ$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{BF}$$-\overrightarrow{BA}$=（λ-1）$\overrightarrow{BA}$+$λ\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=λ（λ-1）$\overrightarrow{BA}$²+（2λ²-λ）$\overrightarrow{BA}$$•\overrightarrow{BC}$+λ²$\overrightarrow{BC}$²=16λ²-8λ，0≤λ≤1
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷；當(dāng)$λ=\frac{1}{4}$時(shí)，16λ²-8λ的最小值為16×$\frac{1}{16}$$-8×\frac{1}{4}$=-1

故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的運(yùn)用，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解，關(guān)鍵是根據(jù)幾何圖形，運(yùn)用數(shù)量積得出函數(shù)式子，屬于中檔題．