Question

（14分）設(shè)上的兩點(diǎn)，

已知，，若且橢圓的離心率

短軸長為2，為坐標(biāo)原點(diǎn).

     (Ⅰ)求橢圓的方程；

    （Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；

（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

Answer 1

解析：（Ⅰ）

橢圓的方程為       ……………………3分

（Ⅱ）由題意，設(shè)AB的方程為

 

由已知得：                                   

    ……7分

(Ⅲ) （1）當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，即,由得……………………8分

又 在橢圓上，所以

所以三角形的面積為定值……………………9分

 

（2）.當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)：設(shè)AB的方程為y=kx+b

                            ……………………10分

                  ………………………………………12分    

所以三角形的面積為定值.        ………………………………………14分