Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+b（a＞0），當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）最大值是1，最小值是-3．
（1）求a，b的值
（2）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間和對稱中心．

Answer 1

分析 （1）解不等式求出滿足條件的x的取值范圍，即可求出a，b的值．
（2）求出函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和對稱性即可得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，
2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]
則有：sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
又∵a＞0，且當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，最大值為1，最小值為-3
∴2a+a+b=1，2a×（-$\frac{1}{2}$）+a+b=-3，
即3a+b=1且b=-3，
則a=$\frac{4}{3}$，b=-3．
（2）∵a=$\frac{4}{3}$，b=-3，
∴f（x）=$\frac{8}{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{5}{3}$，
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，
即x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，
即函數(shù)的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，-$\frac{5}{3}$），k∈Z．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的最值性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)條件求出a，b的值是解決本題的關(guān)鍵．