Question

13．如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，且$PA=8\sqrt{2}$，PB=8．
（1）若∠APB=45°求∠D的大�。�
（2）若⊙O的半徑為5，求圓心O到直線(xiàn)BC的距離．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理可得AB，可得∠ABC=90°，再利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出；
（2）連接OC，作OM⊥BC于M，由垂徑定理可知：M為BC的中點(diǎn)，利用切割線(xiàn)定理與勾股定理即可得出．

解答 解：（1）在△PAB中，有$PA=8\sqrt{2}$，PB=8，∠APB=45°．
由余弦定理得：$A{B}^{2}={8}^{2}+（8\sqrt{2}）^{2}-2×8×8\sqrt{2}cos4{5}^{°}$=64，解得AB=8．
∴AB=PB，∠BAP=45°，
∴∠ABP=Rt∠．
所以△PAB為Rt△，即AB⊥PC．
所以∠ABC=90°，
又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
所以∠D=90°．
（2）連接OC，作OM⊥BC于M，
由垂徑定理可知：M為BC的中點(diǎn)，
由切割線(xiàn)定理得：PA²=PB•PC，
又$PA=8\sqrt{2}$，PB=8，
所以PC=16，BC=8，MC=4．
因?yàn)椤袿的半徑為5，所以在Rt△OMT中有，OM=3，
所求圓心O到直線(xiàn)BC的距離為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、垂徑定理、切割線(xiàn)定理與勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．