Question

17．“搶紅包”的網(wǎng)絡(luò)游戲有多種玩法，小明在十八歲生日舉行成人禮時(shí)參加一種接龍紅包游戲；小明在紅包里裝了9元現(xiàn)金，然后發(fā)給好友甲，并給出金額所在區(qū)間[1，9]，讓甲猜（所猜金額為整數(shù)元；下同），如果甲猜中，甲將獲得紅包里的金額；如果甲未猜中，甲和當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)給好友乙，同時(shí)給出金額所在區(qū)間[6，9]，讓乙猜，如果乙猜同，甲和乙可以平分紅包里的金額；如果乙未猜中，乙要將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給好友丙，同時(shí)給出金額所在區(qū)間[8，9]，讓丙猜，如果丙猜中，甲、乙和丙可以平分紅包里的金額，如果丙未猜中，紅包里的資金將退回小明的帳戶．
（1）求丙得到的0元的概率；
（2）從概率統(tǒng)計(jì)的角度而言，甲所獲得的金額是否超過乙和丙兩人所獲得的金額之和？說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意，分三種情況求丙得到0元的概率；
（2）分別求出甲乙丙對應(yīng)的分布列，求出獲得金額的數(shù)學(xué)期望，進(jìn)行比較即可．

解答 解：（1）丙得到的0元為事件M，則P（M）=$\frac{1}{9}+\frac{8}{9}×\frac{1}{4}+\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$；
（2）設(shè)甲獲得金額為X，則
X=0，3，4.5，9，P（X=3）=$\frac{1}{3}$，P（X=0）=$\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，P（X=4.5）=$\frac{8}{9}×\frac{1}{4}=\frac{2}{9}$，P（X=9）=$\frac{1}{9}$，
X的分布列

X	0	3	4.5	9
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$

E（X）=0×$\frac{1}{3}$+3×$\frac{1}{3}$+4.5×$\frac{2}{9}$+9×$\frac{1}{9}$=3；
設(shè)乙獲得的金額為Y元，則Y的取值為0，3，4.5
P（Y=0）=$\frac{1}{9}$+$\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{4}{9}$，P（Y=3）=$\frac{8}{9}$×$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$，
P（Y=4.5）=$\frac{8}{9}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{2}{9}$；
Y的分布列

Y	0	3	4.5
P	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{9}$

E（Y）=0×$\frac{4}{9}$+3×$\frac{1}{3}$+4.5×$\frac{2}{9}$=2；
設(shè)丙獲得的金額為Z元，則Z的取值為0，3．
P（Z=0）=$\frac{1}{9}$+$\frac{8}{9}×\frac{1}{4}$+$\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{2}{3}$，P（Z=3）=$\frac{8}{9}$×$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$，
Z的分布列

Z	0	3
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$

E（Z）=0×$\frac{2}{3}$+3×$\frac{1}{3}$=1，
∴E（X）=E（Y）+E（Z），
∴從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度而言，A所獲得的金額不超過B和C兩人所獲得的金額之和．

點(diǎn)評 本題主要考查概率知識的運(yùn)用，考查分布列與期望，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于難題．