Question

設(shè)F是雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)y=

3

x交雙曲線(xiàn)左右兩支于M，N，若|OM|=|OF|，則雙曲線(xiàn)的離心率等于

3

+1

．

Answer 1

分析：根據(jù)直線(xiàn)的斜率公式，得∠NOF=60°，所以△ONF是以c為邊長(zhǎng)的等邊三角形，得點(diǎn)N（

1

2

c，

3

2

c），代入雙曲線(xiàn)方程并化簡(jiǎn)整理，得關(guān)于離心率e的方程，解之可得該雙曲線(xiàn)的離心率．

解答：解：∵直線(xiàn)y=

3

x交雙曲左右兩支于M，N，且|OM|=|OF|，
∴由tan∠NOF=

3

，得∠NOF=60°，且|ON|=|OF|，
因此△ONF是以c為邊長(zhǎng)的等邊三角形，
得N（

1

2

c，

3

2

c），代入雙曲線(xiàn)方程得

( 1 2 c)2

a2

-

( 3 2 c)2

b2

=1
即：

c2

4a2

-

3c2

4b2

=1，將e=

c

a

和b²=c²-a²代入化簡(jiǎn)整理，
得

1

4

e2-

3

4

•

e2

e2-1

=1，解之得e²=4±2

3

∴雙曲線(xiàn)的離心率e=

3

+1（因?yàn)殡p曲線(xiàn)離心率e＞1，舍去

3

-1）
故答案為：

3

+1

點(diǎn)評(píng)：本題給出直線(xiàn)y=

3

x交雙曲線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)，且在|ON|=c的情況下求雙曲線(xiàn)的離心率，著重考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)和直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)位置關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．