Question

【題目】已知α，β∈（0， ）且sin（α+2β）=
（1）若α+β= ，求sinβ的值；
（2）若sinβ= ，求cosα的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵α，β∈（0， ），sin（α+2β）= ，α+β= ，

∴cos（α+2β）=﹣ ，

∴sinβ=sin[（α+2β）﹣ ]= ﹣（﹣ ）× =

（2）解：∵sinβ= ，β∈（0， ），

∴cosβ= ，

∴sin2β=2sinβcosβ= ，cos2β=2cos2β﹣1=﹣ ，

∴2β∈（ ，π），

又∵α，β∈（0， ），sin（α+2β）= ，

∴cos（α+2β）=﹣ ，

∴cosα=cos（α+2β﹣2β）=（﹣ ）×（﹣ ）+ =

【解析】（1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos（α+2β）的值，由β=（α+2β）﹣ ，利用兩角差的正弦函數(shù)公式即可計算得解．（2）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosβ，進而利用倍角公式可求sin2β，cos2β的值，結(jié)合范圍2β∈（ ，π），可求cos（α+2β）的值，由α=α+2β﹣2β，利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計算得解．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解兩角和與差的正弦公式的相關(guān)知識，掌握兩角和與差的正弦公式：．