Question

14．如圖，在四邊形ABCD中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，AD丄DC，AD=DC，E、F是平面ABCD同一側(cè)的兩點，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，且DF=1．
（I）若AE丄CF，求BE的值；  
（Ⅱ）求當(dāng)BE為何值時，二面角E-AC-F的大小是60°．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)BD，設(shè)BD∩AC=G．由已知證得△BAD≌△BCD，得AG=CG，再由線面垂直的判定證明AC⊥平面EBDF，以G為坐標(biāo)原點，分別以$\overrightarrow{GB}、\overrightarrow{GC}$的方向為x軸，y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，設(shè)出BE，結(jié)合$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}=0$求得BE；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠EGF是二面角E-AC-F的平面角，然后利用余弦定理求得使二面角E-AC-F的大小是60°時的BE．

解答 解：（Ⅰ）連結(jié)BD，設(shè)BD∩AC=G．
由已知得△BAD≌△BCD，∴AG=CG，
∴G為AC的中點，則BD⊥AC，BE⊥AC，且BD∩BE=B，
∴AC⊥平面EBDF，

如圖，以G為坐標(biāo)原點，分別以$\overrightarrow{GB}、\overrightarrow{GC}$的方向為x軸，y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，
令BE=x，由已知可得B（$\sqrt{3}$，0，0），A（0，-1，0），E（$\sqrt{3}$，0，x），F(xiàn)（-1，0，1），C（0，1，0），
∴$\overrightarrow{AE}=（\sqrt{3}，1，x）$，$\overrightarrow{CF}=（-1，-1，1）$，
由$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}=0$得，x=1+$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠EGF是二面角E-AC-F的平面角，即∠EGF=60°，
則$EG=\sqrt{{x}^{2}+3}$，F(xiàn)G=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{{x}^{2}-2x+5+2\sqrt{3}}$，
∴cos∠EGF=$\frac{E{G}^{2}+F{G}^{2}-E{F}^{2}}{2EG•GF}=\frac{1}{2}$，解得$x=2\sqrt{3}+3$．

點評 本題考查二面角的平面角的求法，考查空間向量在求解空間幾何體中的應(yīng)用，是中檔題．