Question

如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE.

(1)求證：AE⊥平面BCE；

(2)求二面角B-AC-E的大��；

(3)求點D到平面ACE的距離.

Answer 1

解法一：(1)證明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE.?

∵二面角DABE為直二面角，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE.?

∴CB⊥AE.?

∴AE⊥平面BCE.?

(2)連結BD交AC于G，連結FG，?

∵正方形ABCD邊長為2，?

∴BG⊥AC,BG=.?

∵BF⊥平面ACE，?

由三垂線定理的逆定理得FG⊥AC,?

∴∠BGF是二面角B-AC-E的平面角.?

由(1)AE⊥平面BCE，?

又∵AE=EB,?

∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.?

又∵直角△BCE中，,BF=,?

∴直角△BFG中，sin∠BGF=.?

∴二面角B-AC-E等于arcsin.?

(3)過點E作EO⊥AB交AB于點O，OE=1.?

∵二面角D-AB-E為直二面角，?

∴EO⊥平面ABCD.?

設D到平面ACE的距離為h,?

∵V_D—ACE=V_E—ACD?,?

∴S_△ACB?•h=S_△ACD?•EO.?

∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥EC.?

∴h=.?

∴點D到平面ACE的距離為.?

解法二：(1)同解法一.?

(2)以線段AB的中點為原點O，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過O點且平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標系O—xyz,如圖.?

?

∵AE⊥面BCE，BE面BCE，?

∴AE⊥BE.?

在Rt△AEB中，AB=2，O為AB的中點，∴OE=1.?

∴A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).?

=(1,1,0),=(0,2,2).?

設平面AEC的一個法向量為n=(x,y,z),?

則即解得

令x=1,得n=(1,-1,1)是平面AEC的一個法向量.?

又平面BAC的一個法向量為m=(1,0,0),?

∴cos〈m,n〉=.?

∴二面角B-AC-E的大小為arccos.?

(3)∵AD∥z軸，AD=2，?

∴=(0,0,2).?

∴點D到平面ACE的距離?

d=|||cos〈,n〉|=?

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