Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ．
（1）判斷f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性；
（2）若x＞0，證明：（ex﹣1）ln（x+1）＞x2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，0）∪（0，+∞）

∴f′（x）= ，

設(shè)g（x）= ﹣ln（1+x），

∴g′（x）= ﹣ = ＜0，

∴g（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，

∴g（x）＜g（0）=0，

∴f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)

（2）解：（ex﹣1）ln（x+1）＞x2等價(jià)于 ＞ ，

∵ = = ，

∴原不等式等價(jià)于 ＞ ，

由（1）知，f（x）= 是（0，+∞）上的減函數(shù)，

∴要證原不等式成立，只需要證明當(dāng)x＞0時(shí)，x＜ex﹣1，

令h（x）=ex﹣x﹣1，

∴h′（x）=ex﹣1＞0，

∴h（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，

∴h（x）＞h（0）=0，

即x＜ex﹣1，

∴f（x）＞f（ex﹣1），

即 ＞ =＞ ，

故（ex﹣1）ln（x+1）＞x2

【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)和最值得關(guān)系即可求出；（2）原不等式等價(jià)于 ＞ ，要證原不等式成立，只需要證明當(dāng)x＞0時(shí)，x＜ex﹣1，令h（x）=ex﹣x﹣1，利用導(dǎo)數(shù)和最值得關(guān)系即可證明．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題．