Question

【題目】如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，且滿足.

（1）若點(diǎn)坐標(biāo)是，求線段中點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求面積的最小值及此時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值是16，此時(shí)直線的方程是或.

【解析】

（1）設(shè)，，,則，由題意得，直線：，與拋物線方程聯(lián)立，則可得的值，再根據(jù)，均在拋物線上，代入并作差，可得的中點(diǎn)坐標(biāo)與斜率的關(guān)系，再利用，求得線段中點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）將直線的方程用表示出來，并與拋物線方程聯(lián)立，再根據(jù)弦長公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出點(diǎn)到直線的距離為，運(yùn)用，結(jié)合均值不等式可求得面積的最小值及此時(shí)直線的方程.

解：（1）設(shè)，，,則，由題意得，

直線：，又，得，則，

又，得，

得，又得，即

解得，即，

由，得，，

故，，線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（2）由（1）可知，，

設(shè)直線方程為，即

由得，所以

點(diǎn)到直線的距離是

所以

而

等號(hào)成立當(dāng)且，解得.

此時(shí)，或，.

因此面積的最小值是16，

此時(shí)直線的方程是或.