Question

函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）判斷并證明f（x）在（-1，1）的單調(diào)性；
（Ⅲ）求滿足f（t-1）+f（t）＜0的t的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若奇函數(shù)在x=0處有定義，則f（0）=0，代入即可得b，再由f(

1

2

)=

2

5

代入即可得a值；
（Ⅱ）利用單調(diào)性定義即可證明；
（Ⅲ）利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性將不等式中的f脫去，等價轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式組，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）的奇函數(shù)
∴f（0）=0，∴b=0
∵f(

1

2

)=

2

5

．
∴

a× 1 2

1+( 1 2 )2

=

2

5

，∴a=1
∴f(x)=

x

1+x2

；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)，證明如下
在區(qū)間（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

；
∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)；
（Ⅲ）∵f（t-1）+f（t）＜0
∴f（t-1）＜-f（t）
∴f（t-1）＜f（-t） 
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)
∴

-1＜t-1＜1 -1＜-t＜1 t-1＜-t

∴0＜t＜

1

2

．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)應(yīng)用，著重考查學(xué)生理解函數(shù)奇偶性與用定義證明單調(diào)性及解方程，解不等式組的能力，屬于中檔題．