Question

【題目】“五一”期間，甲乙兩個(gè)商場(chǎng)分別開(kāi)展促銷活動(dòng).

（Ⅰ）甲商場(chǎng)的規(guī)則是：凡購(gòu)物滿100元，可抽獎(jiǎng)一次，從裝有大小、形狀相同的4個(gè)白球、4個(gè)黑球的袋中摸出4個(gè)球，中獎(jiǎng)情況如下表：

摸出的結(jié)果	獲得獎(jiǎng)金（單位：元）
4個(gè)白球或4個(gè)黑球	200
3個(gè)白球1個(gè)黑球或3個(gè)黑球1個(gè)白球	20
2個(gè)黑球2個(gè)白球	10

記為抽獎(jiǎng)一次獲得的獎(jiǎng)金，求的分布列和期望.

（Ⅱ）乙商場(chǎng)的規(guī)則是：凡購(gòu)物滿100元，可抽獎(jiǎng)10次.其中，第次抽獎(jiǎng)方法是：從編號(hào)為的袋中（裝有大小、形狀相同的個(gè)白球和個(gè)黑球）摸出個(gè)球，若該次摸出的個(gè)球顏色都相同，則可獲得獎(jiǎng)金元；記第次獲獎(jiǎng)概率.設(shè)各次摸獎(jiǎng)的結(jié)果互不影響，最終所獲得的總獎(jiǎng)金為10次獎(jiǎng)金之和.

①求證：；

②若某顧客購(gòu)買120元的商品，不考慮其它因素，從獲得獎(jiǎng)金的期望分析，他應(yīng)該選擇哪一家商場(chǎng)？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）分布列見(jiàn)解析，期望為20；（Ⅱ）①證明見(jiàn)解析；②選擇甲商場(chǎng).

【解析】

（Ⅰ）的所有可能數(shù)值為為200，20，10，分別求出概率，由此能求出的分布列和期望；

（Ⅱ）①記，2，3，，為第次抽獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金，的取值為，0，求出，再證明；②由，即在甲商場(chǎng)抽獎(jiǎng)得獎(jiǎng)金的期望值更高，故選甲商場(chǎng)．

（Ⅰ）的所有可能數(shù)值為為200，20，10，

，

，

，

．

（Ⅱ）①記，2，3，，為第次抽獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金，的取值為，0，

且，

則，

所以

.

所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以.

所以；

②由題得，，2，3，，10，

記為在乙商場(chǎng)抽獎(jiǎng)獲得的總獎(jiǎng)金，則，

，即在甲商場(chǎng)抽獎(jiǎng)得獎(jiǎng)金的期望值更高，故選甲商場(chǎng)．