Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上有1個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)，使得在上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) ;(3)見解析.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時，得到，求得，利用和，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）由，分和兩種情況分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可求解實數(shù)的取值范圍；

（3）假設(shè)存在正整數(shù)，使得在上恒成立，分類參數(shù)得出對恒成立，設(shè)函數(shù)，求得，求得函數(shù)單調(diào)性與極值，即可求解實數(shù)的最大值.

試題解析：

（1）當(dāng)時， ， ．

令，解得，令，解得，

∴的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．

（2），

當(dāng)時，由，知，

所以， 在上是單調(diào)增函數(shù)，且圖象不間斷，

又，∴當(dāng)時， ，

∴函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，不合題意．

當(dāng)時，由，解得，

若，則，故在上是單調(diào)減函數(shù)，

若，則，故在上是單調(diào)增函數(shù)，

∴當(dāng)時， ，

又∵， 在上的圖象不間斷，

∴函數(shù)在區(qū)間上有1個零點，符合題意．

綜上所述， 的取值范圍為．

（3）假設(shè)存在正整數(shù)，使得在上恒成立，

則由知，從而對恒成立（*）

記，得，

設(shè)， ，

∴在是單調(diào)增函數(shù)，

又在上圖象是不間斷的，

∴存在唯一的實數(shù)，使得，

∴當(dāng)時， 在上遞減，

當(dāng)時， 在上遞增，

∴當(dāng)時， 有極小值，即為最小值， ，

又，∴，∴ ，

由（*）知， ，又， ，∴ 的最大值為3，

即存在最大的正整數(shù)，使得在上恒成立．