Question

1．已知正項等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S₁，S₃，S₄成等差數(shù)列，則數(shù)列{a_n}的公比為$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)正項等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由于S₁，S₃，S₄成等差數(shù)列，可得2S₃=S₁+S₄，q=1不成立，可得$2\frac{{a}_{1}（{q}^{3}-1）}{q-1}$=a₁+$\frac{{a}_{1}（{q}^{4}-1）}{q-1}$，化簡解出即可．

解答 解：設(shè)正項等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵S₁，S₃，S₄成等差數(shù)列，
∴2S₃=S₁+S₄，
q=1不成立，
∴$2\frac{{a}_{1}（{q}^{3}-1）}{q-1}$=a₁+$\frac{{a}_{1}（{q}^{4}-1）}{q-1}$，
化為q³-2q²+1=0，
（q-1）（q²-q-1）=0，q≠1，q＞0，
解得q=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．