Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3，a∈R；
（1）若函數(shù)y=f（x）在[-1，1]上存在零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=bx+5-2b，b∈R，當(dāng)a=3時(shí)，若對(duì)任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使得g（x₁）=f（x₂），求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減且存在零點(diǎn)可得f（-1）f（1）≤0，從而解出a的范圍；
（2）對(duì)b進(jìn)行討論，判斷g（x）的單調(diào)性，分別求出f（x），g（x）在[1，4]上的值域，令g（x）的值域?yàn)閒（x）的值域的子集列出不等式組得出b的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-4x+a+3的函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=2，
∴f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，
∵函數(shù)y=f（x）在[-1，1]上存在零點(diǎn)，
∴f（-1）f（1）≤0，即a（8+a）≤0，
解得：-8≤a≤0．
（2）a=3時(shí)，f（x）=x²-4x+6，
∴f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，在[2，4]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[2，4]上的最小值為f（2）=2，最大值為f（4）=6．
即f（x）在[2，4]上的值域?yàn)閇2，6]．
設(shè)g（x）在[1，4]上的值域?yàn)镸，
∵對(duì)任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使得g（x₁）=f（x₂），
∴M⊆[2，6]．
當(dāng)b=0時(shí)，g（x）=5，即M={5}，符合題意，
當(dāng)b＞0時(shí)，g（x）=bx+5-2b在[1，4]上是增函數(shù)，
∴M=[5-b，5+2b]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5-b≥2}\\{5+2b≤6}\\{b＞0}\end{array}\right.$，解得0＜b≤$\frac{1}{2}$．
當(dāng)b＜0時(shí)，g（x）=bx+5-2b在[1，4]上是減函數(shù)，
∴M=[5+2b，5-b]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5+2b≥2}\\{5-b≤6}\\{b＜0}\end{array}\right.$，解得-1≤b＜0．
綜上，b的取值范圍是$[-1，\frac{1}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性判斷，值域計(jì)算，零點(diǎn)的存在性定理，分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．